Henningsen and Henningsen 2011

Paper ini saya baca karena kebutuhan untuk estimasi fungsi produksi Constant Elasticity of Substitution (CES). Umumnya ketika melakukan estimasi Total Factor Productivity (TFP), ekonom lebih suka menggunakan fungsi Cobb-Douglass yang gampang dibikin linear, dan parameternya lebih berguna untuk diterjemahkan ke dunia nyata. Sayangnya, kalau mau menggunakan model terstruktur seperti model Computable General Equilibrium (CGE), model estimasi pake Cobb-Douglass punya kelemahan berupa parameter substitusinya akan selalu 1. Hari gini mana ada model CGE yang pake substitusi=1?

Sayangnya estimasi CES lumayan susah. Linearisasi bisa sih pake taylor series dan ekstensinya, tapi kalo mau dipake buat model ekonomi, restriksi yang harus diberikan agak banyak. Alternatifnya ya pake estimasi non-linear yang ada banyak macam algoritmanya. Plus, saya butuh instuksi step-by-step untuk membantu melakukannya melalui komputer.

{% assign author = site.data.article[page.author] %} {{ author.name }} {{ author.year}} adalah paper yang sempurna buat saya. Mereka membuat paket di R yang namanya micEconCES. Paket ini bisa melakukan estimasi CES dan mendokumentasikan berbagai macam algoritma yang bisa kita gunakan di paket tersebut. Mereka juga membahas beberapa perkembangan estimasi CES mulai dari dicetuskannya CES oleh Arrow dan kawan-kawan, sampai perkembangan terkini. Komplit lah pokoknya.

Sedikit refreshing tentang CES, secara umum, fungsi CES bentuknya adalah seperti ini:

$$ y = \gamma \left(\sum_{i=1}^n \delta_i x_i^{\rho}\right)^{-\frac{\upsilon}{\rho}} \label{1} $$

di mana x adalah faktor produksi (kapita, pekerja, material, dll). Idealnya, kita menginginkan parameter substitusi yang berbeda-beda untuk setiap dua faktor produksi yang disandingkan. {{ author.name }} {{ author.year}} menggunakan approach yang dimulai oleh Sato (1967) yaitu dengan menggunakan nested CES. Misalnya ada 3 faktor produksi, daripada semua faktor dimasukin ke model \ref{1} dengan 3 3 nya punya satu parameter substitusi $$\rho$$, sama Sato dibikin kayak gini:

$$ y = \gamma \left[: \delta : (\delta_1 x_1^{-\rho_1} + (1-\delta_1) x_2^{-\rho_1})^{\rho/\rho_1} + (1-\delta) \delta_2 x_3^{-\rho/\rho_2}\right]^{-\frac{\upsilon}{\rho}} \label{2} $$

Dengan metode nesting CES ini, kita jadi bisa punya banyak parameter substitusi, diantaranya substitusi antara $x_1$ dengan $x_2$, yaitu si ${\rho/\rho_1}$, dan parameter antara nested $x_1$ dan $x_2$ dengan $x_3$. Tergantung kebutuhan anda sebagai researcher, model ini bisa diatur. Jika anda merasa cukup dengan $\rho$ saja untuk semua faktor produksi, maka bisa langsung pake model \ref{1}. Ada kalanya kita merasa bahwa dari 3 faktor itu, ada 2 yang punya substitusi berbeda dengan yang ke-3. Misalnya, Jika faktor anda adalah kapital, skilled labor dan unskilled labor, maka anda bisa menggunakan metode \ref{2} di mana $x_1=skilled labor, x_2=unskilled labor$, dan $x_3 = kapital$.