Fungsi dan penerapannya

Pertemuan 3

Matematika & Statistika

Bentuk umum & pengertian

  • Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan/dependensi/fungsional antara 2 variabel atau lebih.

  • Fungsi dibentuk oleh 3 unsur, yaitu variabel, koefisien, dan konstanta.

\[ Y=f(X) \]

artinya, variabel \(Y\) adalah fungsi dari variabel \(X\). Atau, besarnya variabel \(Y\) ditentukan oleh besarnya variabel \(X\), tapi tidak sebaliknya.

Pengertian & unsur

  • Variabel mencerminkan faktor tertentu. Sementara itu, koefisien dan konstanta adalah angka yang membentuk fungsi, mencerminkan bagaimana 2 variabel saling berhubungan.

    • Konstanta hanya berhubungan \(\pm\) dengan variabel, sementara koefisien berhubungan selain itu.

  • Variabel, seperti namanya, bisa bervariasi, alias berubah-ubah.Variabel sendiri adalah himpunan, sementara koefisien dan konstanta bukan.

Bentuk khusus/spesifik

  • Sebuah fungsi \(Y=f(X)\) bisa memiliki bentuk spesifik tertentu. Umumnya bentuk spesifik inilah yang akan kita selesaikan.

  • Misalnya, sebuah fungsi \(Y=f(X)\) memiliki bentuk spesifik:

\[ Y=a_0+a_1X \]

  • \(Y\) dan \(X\) adalah variabel, \(a_0\) adalah konstanta/intersep, dan \(a_1\) adalah koefisien/parameter.

Fungsi

  • \(X\) disebut juga dengan variabel eksogen, sementara \(Y\) disebut juga variabel endogen.

  • Eksogen \(\rightarrow\) bisa diubah sendiri/independen.

  • Endogen tidak bisa. Nilai variabel endogen mengikuti perubahan dari variabel eksogen.

  • Mengubah \(Y\) harus dilakukan dengan mengubah \(X\): Kadang \(X\) disebut variabel input dan \(Y\) variabel output

Bentuk fungsi

  • Fungsi spesifik dapat berbentuk apa saja, selama memetakan \(X\) menjadi \(Y\).
Fungsi Nama
\(Y=a_o+a_1X\) Fungsi linear
\(Y=a_0+a_1X+a_2X^2\) Fungsi kuadratik
\(Y=a_0+a_1^X\) Fungsi power/eksponen
\(Y=\frac{a_1}{X}\) Fungsi resiprokal
\(Y=a_0+a_1 \ln X\) Fungsi logaritma

Visualisasi

  • Fungsi umumnya divisualisasikan dalam 2 dimensi menggunakan koordinat kartesian.

  • Koordinat kartesian merupakan sistem yang dapat memetakan dua buah variabel ke dalam sebuah bidang yang terdiri dari 2 sumbu: sumbu horizontal/absis/\(x\) dan sumbu vertikal/ordinat/\(y\).

    • bidang ini disebut juga dengan bidang kartesian.

  • Sebuah titik \(A\) di bidang kartesian punya koordinat \(A=(x,y)\).

Visualisasi

Ada 6 titik di bidang/diagram kartesian ini:

  • A=(5,4)
  • B=(4,5)
  • C=(3,0)
  • D=(0,-1)
  • E=(5,-3)
  • F=(-5,5)

Visualisasi fungsi

  • Diagram kartesian cocok digunakan untuk visualisasi fungsi karena punya 2 dimensi.

  • Umumnya, fungsi \(Y=f(X)\) dipetakan menjadi \((x,y)\)

    • alias, variabel endogen di sumbu-Y, variabel eksogen di sumbu-X.

  • Fungsi dipetakan ke diagram kartesian dalam bentuk titik jika X dan Y-nya himpunan bilangan integer.

  • Kita akan lebih sering pakai bilangan riil.

Bilangan

  • Kita bisa buat himpunan apa saja dengan huruf apa saja.

  • Tapi di matematika ada himpunan yang digunakan secara standar.

simbol himpunan elemen
\(\mathbb{N}\) natural / asli {1,2,3…}
\(\mathbb{Z}\) integer {…-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
\(\mathbb{R}\) riil / real integral tapi ada pecahan/desimal

Visualisasi

  • Katakanlah ada 2 himpunan dengan karakteristik seperti ini:

\[ \begin{aligned} X&=\{-2,-3,0,2,4\} \\ Y&=\{y_i \ |\ y_i=3+2x_i\} \end{aligned} \]

  • dapatkah anda menebak elemen dari \(Y\)?

  • note: subscript \(i\) (disebut juga index) menyatakan anggota ke-.

  • cth: \(x_3\) anggota himpunan \(X\) yang ke-3, yaitu 3.

Visualisasi integer

i x y
1 -2 -1
2 -3 -3
3 0 3
4 2 7
5 4 11

perhatikan bahwa skala untuk sumbu X dan sumbu Y berbeda. Boleh kok.

Visualisasi riil

  • Bagaimana untuk himpunan yang anggotanya bilangan riil?

\[ \begin{aligned} X&=\{x_i \ | \ -3 \leq x_i \leq 4, x \in \mathbb{R}\} \\ Y&=\{y_i \ | \ y_i=3+2x_i\} \end{aligned} \]

  • Tentu saja kita akan punya banyak sekali titik karena ada diantara dua bilangan integer ada bilangan riil sejumlah tak hingga

  • ada berapa bilangan riil antara 0 dan 1?

Visualisasi riil

  • Visualisasi jika X kita batasi bilangan riil dengan desimal 1 angka di belakang koma.

  • Semakin banyak desimal yang kita ikutkan, maka akan semakin banyak titiknya.

  • Kumpulan titik-titik yang banyaknya tak hingga akan menjadi garis

Fungsi linear

  • Fungsi \(y=3+2x\) merupakan fungsi linear karena visualnya membentuk garis lurus.

  • Kita akan fokus ke fungsi linear.

  • Gambarnya gambang: cari 2 ditik, lalu hubungkan dgn garis.

Gambar fungsi lain

fungsi kuadratik

fungsi kubik

fungsi eksponensial

fungsi logaritmik

fungsi resiprokal

fungsi sinus

fungsi linear

Pada fungsi linear \(y=a_0+a_1x\)

  • konstanta \(a_0\) adalah \(y\) ketika \(x=0\)

  • koefisien \(a_1\) menunjukkan kemiringan garis:

    • semakin tinggi \(a_1\), semakin miring garisnya.

  • Hal ini menjadi penting jika kita transformasi fungsinya.

fungsi linear

perubahan konstanta: grafik naik turun, kemiringan tetap.

Perubahan koefisien: grafik muter dgn konstanta sebagai porosnya

fungsi linear

  • Fungsi linear jika ditambah hanya akan mengubah konstanta.

  • Jika dikali maka konstanta dan koefisien akan berubah.

  • Jika ada fungsi \(y=2+3x\):

  • jika \(z=y+2\), maka \(z=4+3x\), grafik naik 2 unit.

  • jika \(z=y \times 2\), maka \(z=4+12x\), grafik naik dan mencuram.

Contoh soal

  1. Raka bermaksud jualan somay. Untuk itu dia perlu menyewa gerobak somay selama sebulan dan membeli bahan baku somay. Biaya sewa gerobak somay sebulan adalah 1 juta rupiah. Untuk membuat 1 porsi somay, perlu bahan baku senilai 7 ribu rupiah.
  1. Jika \(C\) adalah biaya produksi, buat fungsi biaya (cost function) Raka.
  2. Jika Raka bermaksud bikin 400 somay sebulan, berapa total costnya?
  3. Ternyata harga sewa gerobak naik jadi 2 juta rupiah. jika somay tetap 400, berapa total costnya sekarang?
  4. gambar kurva biaya Raka.

Contoh soal

  1. Raka bermaksud menjual somay buatannya dengan harga 10 ribu rupiah per porsi.
  1. \(R\) adalah total revenue Raka. Buat fungsi penjualan (revenue function) Raka.
  2. Jika Raka akhirnya membuat 400 somay, berapa total revenue Raka? Profit (\(\pi\)) berapa?
  3. Raka nemu 100 ribu. Jika Raka memutuskan ngambil, bagaimana fungsi penjualan Raka jadinya?
  4. Harus jual berapa somay agar usaha Raka impas (breakeven)? kalo jual 12 ribu?

Jawaban

1a. \(C=1000+7Q\)

2a. \(R=10Q\)

2b. \(\pi=R-C\)

2d. \(R=C\)

\[ \begin{aligned} 10Q&=1000+7Q \\ 3Q&=1000 \\ Q&=\frac{1000}{3} \end{aligned} \]

profit if Jual >334 somay.

Last note

  • Anda sudah belajar fungsi linear, sebuah fungsi paling sederhana.

  • Di dunia nyata, cost dan profit umumnya lebih ribet daripada fungsi linear seperti ini. Jadi hati-hati bukan berarti anda jadi ahli ngitung profit.

  • Tapi fungsi ribet-ribet lainnya prinsipnya mirip, cuma gak linear aja.

  • Ketika gambar di ujian, label di diagram X dan Y cukup yang penting-penting aja, ga harus semua ditulis labelnya.